Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
Примеры случайных величин:
- Число попаданий при трех выстрелах;
- Число вызовов, поступавших на телефонную станцию за сутки;
- Частота попадания при 10 выстрелах.
Во всех трех приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечислить.
Так, в примере 1) эти значения:
0, 1, 2, 3;
в примере 2):
1, 2, 3, 4, …;
в примере 3):
0; 0,1; 0,2; …; 1,0.
Такие случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными случайными величинами.
Существуют случайные величины другого типа, например:
- Абсцисса точки попадания при выстреле;
- Ошибка взвешивания тела на аналитических весах;
- Скорость летательного аппарата в момент выхода на заданную высоту;
- Вес наугад взятого зерна пшеницы.
Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от друга; они непрерывно заполняют некоторый промежуток, который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще — границы неопределенные, расплывчатые.
Такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.
Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей оперировала по преимуществу с событиями, то современная теория вероятностей предпочитает, где только возможно, оперировать со случайными величинами.
Примеры перехода от событий к случайным величинам
Приведем примеры типичных для теории вероятностей приемов перехода от событий к случайным величинам.
Производится опыт, в результате которого может появиться или не появиться некоторое событие А. Вместо события А можно рассмотреть случайную величину X, которая равна 1, если событие А происходит, и равна 0, если событие А не происходит.
Случайная величина X, очевидно, является прерывной; она имеет два возможных значения: 0 и 1.
Эта случайная величина называется характеристической случайной величиной события А. На практике часто вместо событий оказывается удобнее оперировать их характеристическими случайными величинами.
Например, если производится ряд опытов, в каждом из которых возможно появление события А, то общее число появлений события равно сумме характеристических случайных величин события А во всех опытах. При решении многих практических задач пользование таким приемом оказывается очень удобным.
С другой стороны, очень часто для вычисления вероятности события оказывается удобно связать это событие С какой-то непрерывной случайной величиной (или системой непрерывных величин).
Пусть, например, измеряются координаты какого-то объекта О для того, чтобы построить точку M, изображающую этот объект на панораме (развертке) местности.
Нас интересует событие А, состоящее в том, что ошибка R в положении точки M не превзойдет заданного значения г_0 (рис. 1).
Обозначим X, Y случайные ошибки в измерении координат объекта.
Очевидно, событие А равносильно попаданию случайной точки М с координатами X, Y в пределы круга радиуса г_0 с центром в точке О. Другими словами, для выполнения события А случайные величины X и Y должны удовлетворять неравенству
X^2+Y^2<{r_0}^2Вероятность события А есть не что иное, как вероятность выполнения неравенства. Эта вероятность может быть определена, если известны свойства случайных величин X, Y.
Такая органическая связь между событиями и случайными величинами весьма характерна для современной теории вероятностей, которая, где только возможно, переходит от «схемы событий» к «схеме случайных величин». Последняя схема сравнительно с первой представляет собой гораздо более гибкий и универсальный аппарат для решения задач, относящихся к случайным явлениям.
