Формулы полной вероятности и Байеса
Теорема 6. Если случайное событие А может появится только совместно с одним из несовместных между собой событий 
которые образуют полную группу, тогда вероятность события А вычисляется по формуле
Доказательство. По условию теоремы появление события А означает появление одного из событий 
то есть
События 
несовместные, поэтому и события 
также несовместные. Согласно теореме сложения вероятностей несовместных событий получим
События А и 
— зависимые, поэтому для вычисления 
можно использовать теорему умножения вероятностей зависимых событий, то есть
Подставим (3) в формулу (2) и получим равенство (1), которое требовалось доказать.
Формулу (1) называют формулой полной вероятности.
Пример 1
В первом ящике 20 деталей, из которых 15 стандартных. Во втором ящике 0 деталей, из которых 9 стандартных. Из второго ящика берут наугад одну деталь и перекладывают ее в первый ящик. Найти вероятность того, что взятая после этого наугад деталь из первого ящика стандартная.
Решение. Обозначим такие события: А — из первого ящика взята стандартная деталь; 
— из второго ящика переложили в первый стандартную деталь; 
— из второго ящика переложили в первый нестандартную деталь.
Согласно условия задачи, из первого ящика модно взять деталь только после того, как произойдет событие 
или событие 
События 
и 
несовместны, а событие А может появится только совместно с одним из них. Поэтому для нахождения вероятности события А можно использовать формулу полной вероятности (1), которая в данном случае примет вид
Найдем нужные вероятности
Подставим эти значения в формулу (4) и получим
Теперь познакомимся с формулами Байеса.
По условиям Теоремы 1 неизвестно, с каким событием из несовместных событий 
появится событие А. Поэтому каждое из событий 
можно считать гипотезой. Тогда 
— вероятность 
той гипотезы.
Если испытание проведено и в результате его событие А появилось, то условная вероятность 
может быть не равна 
Сравнение вероятностей 
и 
позволяет переоценить вероятность гипотезы при условии, что событие А появилось.
Для получения условной вероятности используем теорему умножения вероятностей зависимых событий
Подставим в формулу (5) вместо 
ее значение из формулы полной вероятности. Получим
Формулы (6) называют формулами Байеса. Они позволяют переоценить вероятности гипотез. Это важно при контроле или ревизиях.
Пример 2
Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их стандартности к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру равна 0,6, а ко второму — 0,4. Вероятность того, что пригодная деталь будет признана стандартной первым контролером равна 0,94, а вторым — 0,98.
Пригодная деталь при проверке признана стандартной. Найти вероятность того, что деталь проверял первый контролер.
Решение. Обозначим такие события: А — пригодная деталь признана стандартной; 
— деталь проверял первый контролер; 
— деталь проверял второй контролер. По условию примера
По формуле Байеса (6) при 
получим
Отметим, что до появления события А вероятность 
а после появления события А вероятность проверки детали первым контролером 
уменьшилась.
Пример 3
Вероятность уничтожения самолета с одного выстрела для первой пушки равна 0,2, а для второй пушки — 0,1. Каждая пушка делает по одному выстрелу, причем было одно попадание в самолет. Какая вероятность того, что попала первая пушка?
Решение. Обозначим такие события: А — уничтожение самолета с первого выстрела первой пушкой; В — уничтожение самолета с первого выстрела второй пушкой; С — одно попадание в самолет. Имеем четыре гипотезы
которые образуют полную группу событий. Вероятностями этих гипотез будут
Так как сумма
является достоверным событием, то
Условные вероятности события С будут
Теперь по формуле Байеса находим искомую вероятность
