Расчет вероятности - формула вероятности

Как произвести непосредственный расчет вероятности, если мы знаем экспериментальные данные. Подробно рассмотрим как рассчитывается вероятность в простых случаях.

Содержание

Определение случая
Формула расчета вероятности
Примеры

Определение случая

Существуют группы событий, обладающие всеми тремя свойствами: они образуют полную группу, несовместны и равновозможны; например: появление герба и цифры при бросании монеты; появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости. События, образующие такую группу, называются случаями (иначе «шансами»).

Если какой-либо опыт по своей структуре обладает симметрией возможных исходов, то случаи представляют собой исчерпывающую систему равновозможных и исключающих друг друга исходов опыта. Про такой опыт говорят, что он «сводится к схеме случаев» (иначе — к «схеме урн»).

Схема случаев по преимуществу имеет место в искусственно организованных опытах, в которых заранее и сознательно обеспечена одинаковая возможность исходов опыта (как, например, в азартных играх). Для таких опытов возможен непосредственный подсчет вероятностей, основанный на оценке доли так называемых «благоприятных» случаев в общем числе случаев.

Случай называется благоприятным (или «благоприятствующим») некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление данного события.

Например, при бросании игральной кости возможны шесть случаев: появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Из них событию А—появлению четного числа очков — благоприятны три случая: 2, 4, 6 и не благоприятны остальные три.

Формула расчета вероятности

Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А в данном опыте можно оценить по относительной доле благоприятных случаев. Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев:

$P(A)=\frac{m}{n}$

(1)

где Р (А) — вероятность события А; n — общее число случаев; m — число случаев, благоприятных событию А.
Так как число благоприятных случаев всегда заключено между 0 и 1 (0—для невозможного и 1—для достоверного события), то вероятность события всегда есть рациональная правильная дробь:

$0<P(A)<1$

Формула (1), так называемая «классическая формула» для вычисления вероятностей, долгое время фигурировала в литературе как определение вероятности. В настоящее время при определении (пояснении) понятия вероятности обычно исходят из других принципов, непосредственно связывая понятие вероятности с эмпирическим понятием частоты. Формула же (1) сохраняется лишь как формула для непосредственного подсчета вероятностей, пригодная тогда и только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев, т. е. обладает симметрией возможных исходов.

Примеры

Пример 1. В урне находится 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Обозначим А событие, состоящее в появлении белого шара. Общее число случаев n = 5; число случаев, благоприятных событию А, m =2. Следовательно,

$P(A)= \frac{2 \large}{5 \large}=0,4$ .

Пример 2.

В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Обозначим В событие, состоящее в появлении двух белых шаров. Подсчитаем общее число возможных- случаев n и число случаев m благоприятных событию В:

$n=C_{a+b}^2$

$m=C_{a}^2$ , где $C$ — число сочетаний из k элементов по l.

$P(B)= \frac{C_{a}^2}{C_{a+b}^2}$ .

Пример 3.

В партии из N изделий М бракованных. Из партии выбирается наугад n изделий. Определить вероятность того, что среди этих n изделий будет ровно m бракованных.

Решение. Общее число случаев, очевидно, равно $C_{N}^n$ число благоприятных случаев $C_{N}^n C_{N-M}^{n-m}$ . Тогда вероятность: