Теорема Бернулли

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли устанавливает связь теории вероятностей с ее практическим использованием. Она была доказана Я. Бернулли в конце  а опубликована в 1713 году.

Теорема 4 (Я. Бернулли). Если в  независимых испытаниях вероятность  появления события А одинакова и событие А появилась  раз, то для любого положительного числа  имеет место равенство

то есть предел вероятности отклонения относительной частоты  события А от его вероятности на величину, которая больше или равна  равна нулю. 

Согласно определению предела равенство (1) означает, что

 — бесконечно малая величина.

Это означает, что событие

практически невозможно. Но тогда противоположное событие

практически достоверно для любого положительного числа 

Следствие теоремы Бернулли

Равенство

может отличаться от практически достоверного события

 на бесконечно малую величину.

Это значит, что  то есть относительная частота (частость)  события А отличается от вероятности события А на бесконечно малую величину, которую практически можно не учитывать.

Другую формулировку и доказательство теоремы Бернулли смотри в подразделе 4.4.3 Раздела 4.

Замечание. Формулу (1) можно записать, используя интегральную функцию Лапласа  в виде

Отсюда получим важную формулу

которая позволяет решать много задач.

Пример 1

Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что частота появления события отклоняется от вероятности по абсолютной величине не больше чем на 0,04.

Решение. По условию примера  Нужно найти 

По формуле (2) получим

Из таблицы значений функции Лапласа  находим Следовательно,

Таким образом, искомая вероятность приближенно равна 

Пример 2

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытания при котором с вероятностью 0,7698 модно ожидать, что частота появления события отклоняется от его вероятности по абсолютной величине не больше чем на 0,02.

Решение. По условию задачи 

Используем формулу (2). Тогда согласно условию получим

По таблице значений интегральной функции Лапласа найдем

Следовательно, искомая вероятность испытаний 

Пример 3

Отдел технического контроля проверяет стандартность 900 изделий. Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,9544 границы интервала, который содержит число стандартных изделий среди проверенных.

Решение. По условию 

По таблице значений интегральной функции Лапласа находим

Следовательно, с вероятностью 0,9544 отклонение частоты количества стандартных изделий от вероятности 0,9 удовлетворяет неравенство

Из последних соотношений следует, что искомое число стандартных изделий среди 900 проверенных с вероятностью 0,9544 принадлежит интервалу