Схема и формула Бернулли

Во многих задачах теории вероятностей, статистике и повседневной практике необходимо исследовать последовательность (серию) испытаний. Например, испытание «брошено 1000 одинаковых монет» можно рассматривать как последовательность 1000 более простых испытаний — «брошена одна монета». При бросании 1000 монет вероятность появления герба или надписи на одной монете не зависит от того, что появится на других монетах. Поэтому можно говорить, что в этом случае испытание повторяется 1000 раз независимым образом.

Определение 1

Если все  испытаний проводить в одинаковых условиях и вероятность появления события А во всех испытаниях одинаковая и не зависит от появления или непоявления  А в других испытаниях, то такую последовательность независимых испытаний называют схемой Бернулли.

Пусть случайное событие А может появится в каждом испытании с вероятностью  или не появится с вероятностью 

Поставим задачу: найти вероятность того, что при  испытаниях событие А появится  раз и не появится  раз. Искомую вероятность обозначим 

Сначала рассмотрим появление события А три раза в четырех испытаниях. Возможны такие события

то есть их 

Если событие А появилось 2 раза в 4 испытаниях, то возможны такие события

их 

В общем случае, когда событие А появляется  раз в  испытаниях, таких сложных событий будет

Вычислим вероятность одного сложного события, например

Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий согласно теореме умножения вероятностей, то есть

Количество таких сложных событий  и они несовместные. Поэтому, согласно теореме сложения вероятностей несовместных событий, получим

Формулу (1) называют формулой Бернулли .Она позволяет находить вероятность появления события А раз при  испытаниях, которые образуют схему Бернулли.

Замечание 1. Вероятность появления события А в  испытаниях схемы Бернулли менее  раз находят по формуле

Вероятность появления события А не менее  раз можно найти по формуле

или по формуле

Вероятность появления события А хотя бы один раз в  испытаниях целесообразно находить по формуле

Замечание 2. Во многих случаях необходимо находить наиболее вероятное значение  числа  появления новых событий А. Это значение  определяется соотношениями

Число  должно быть целым. Если  — целое число, тогда наибольшее значение вероятность имеет при двух числах

Замечание 3. Если вероятность появления события А в каждом испытании равна  то количество  испытаний, которые необходимо провести, чтобы с вероятностью  можно было утверждать, что событие А появится хотя бы один раз, находят по формуле

Пример 1

Прибор собран из 10 блоков, надежность каждого из них 0,8. Блоки могут выходить из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что

а) откажут два блока;

б) откажет хотя бы один блок;

в) откажут не менее двух блоков.

Решение. Обозначим событием А отказ блока. Тогда вероятность события А по условию примера будет

 поэтому 

Согласно условию задачи Используя формулу Бернулли и Замечание 1, получим

Пример 2

За один час автомат производит 20 деталей. За сколько часов вероятность производства хотя бы одной бракованной детали будет не менее 0,952, если вероятность брака любой детали равна 0,01?

Решение. Используя формулу (2), найдем сначала такое количество произведенных деталей, чтобы с вероятностью  можно было утверждать о наличии хотя бы одной бракованной детали, если вероятность брака по условию 

Следовательно, за время  (часов) автомат с вероятность. 0,952 произведет хотя бы одну бракованную деталь.

Пример 3

При новом технологическом процессе 80% всей произведенной продукции имеет наивысшее качество. Найти наиболее вероятное число произведенных изделий наивысшего качества среди 250 произведенных изделий.

Решение. Обозначим искомое число 

Согласно Замечанию 2

По условию примера  поэтому

Но  должно быть целым числом, поэтому